Groupe symétrique - Groupe des permutations - Math'φsics

Groupe symétrique - Groupe des permutations

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
(Permutation)

Définition

Groupe symétrique, groupe de permutations \((\mathscr S_n,\circ)\), \(\mathcal S_n\) ou \(\mathfrak S_n\) : ensemble des bijections de \(\{1,2,\ldots,n\}\) dans lui-même

(Bijection, Groupe, Composition)

Cardinal

$$\operatorname{Card}({{\mathscr S_n}})={{n!}}$$

(Cardinal - Cardinalité, Factorielle)

Montrer que $$\operatorname{Card}(\mathscr S_n)=n!$$

Pour définir \(f\in S_n\), il nous faut choisir : $$\left.\begin{array}{lmr} f(1)&\longrightarrow&n\text{ choix}\\ f(2)\notin \{f(1)\}&\longrightarrow&n-1\text{ choix}\\ f(3)\notin\{f(1),f(2)\}&\longrightarrow&n-2\text{ choix}\\ ...\end{array}\right\}\text{ choix indépendants}$$

En tout, on a donc \(n(n-1)(n-2)\cdots=n!\) choix
On a donc \(\lvert S_n\rvert=n!\)
Rétroliens :
- Groupe
- Permutation